Задачам со «сложными процентами»

Название	Задачам со «сложными процентами»
Дата	08.04.2016
Размер	70.84 Kb.
Тип	Задача

Асалханов А.В. Рекомендация по решению задания 19 ЕГЭ-2015

Рекомендация по решению задания 19 ЕГЭ – 2015

Задания 19 относятся к текстовым задачам со «сложными процентами».

Задача заключается в следующем:

Некоторая величина подвергается поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Рассмотрим пример, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%.

1
Некоторая величина А₀в конце первого этапа будет равна:

А₁=А₀+

*А₀=А₀*(1 +

)

2
В конце второго этапа ее значение станет равным:

А₂=А₁+

*А₁=А₀*(1 +

)²

3
Таким образом, после N-го этапа ее значение станет равным:

А_n=А_n_-1+

*А_n_-1=А₀*(1 +

)ⁿ

Формулы 1-3 находят практическое применение и в заданиях ЕГЭ-2015 данная категория задач идут под номером 19.

Рассмотрим 1 тип задачи на «сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?

Решение:

Пусть сумма кредита равна А₀=9282000 рублей, а годовые обозначим через р%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет: А_n=А_n_-1+

*А_n_-1=А₀*(1 +

)ⁿ

Рассмотрим подробней:

Пусть n=1, т.е. рассмотрим первый год. Тогда сумма долга составит А₁=А₀+

*А₀=А₀*(1 +

).

Для упрощения повторяющуюся часть формулы (1 +

) обозначим через b=(1 +

)=(1+0,01*p).

Тогда А₁=А₀*(1 +

)=А₀*b. После первой выплаты сумму долга cоставит:

А₁¹= А₀*b-Х.

После второй выплаты сумма долга составит:

А₂¹=А₁¹*b-X= (А₀*b-Х)*b-X= А₀*b²-X*b-X= А₀*b²-(1+b)*X

После третьей выплаты сумма долга составит:

А₃¹=А₂¹*b-X= (А₀*b²-(1+b)*Х)*b-X= А₀*b³-X*b²-X*b-X= А₀*b³-(1+b+b²)*X= А₀*b³-

*X= А₀*b³-

*X.

Аналогично рассуждая, получим что:

А₄¹= А₀*b⁴-

*X

По условию Алексей должен погасить долг за 4 года, поэтому А₀*b⁴-

*X=0. Следовательно, X=

Очевидно, что b=(1+0,1)=1,1

X=(928000*1,4641*0,1)/0,4641=2928200

Ответ: 2928200

Рассмотрим 2 тип задачи на «сложные проценты».

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 1 млн рублей в кредит. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк очередной транш. Алексей выплатил кредит за два транша ( т.е. за две выплаты или за два года), переводя первый раз 550 тысяч рублей, во второй 638,4 тыс рублей. Под какой процент банк выдал Алексею кредит?

Решение: Пусть сумма кредита равна А₀=10000000 рублей, а годовые обозначим через р%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет: А_n=А_n_-1+

*А_n_-1=А₀*(1 +

)ⁿ и Х=550 тыс рублей и Y=638,4 тыс рублей.

Так как Алексей выплатил кредит за два транша, то А₀*b²-b*X-Y=0. Решим квадратичное уравнение относительно переменной b:

D=X²+4*A₀*Y=10⁴*169²

Тогда b=(X+

)/2*A_o=(10⁴*51+10⁴*169)/(2*10⁴*100)=1,1. Так как b=1+0,01*р, то р=(b-1)*100=10

Ответ:10

Рассмотрим 3 тип задачи на «сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6951000 рублей в кредит годовых. под 10%. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк платеж. Алексей выплатил кредит за три равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?

Решение:

Пусть сумма кредита равна А₀=6951000 рублей, а годовые - р=10%.

Очевидно, что А₁=А₀*(1 +

*X= А₀*b³-

*X

Вычислим b=1+0,01*10=1,1

Найдем вносимую сумму Х при 3-х разовом платеже:

А₀*b³*(b-1)/(b³-1)=(6951000*1,331*0,1)/(0,331)=925178/0,331=2795100

За три года Алексей выплатил: 2795100*3=8385300

Найдем вносимую сумму Х при 2-х разовом платеже:

А₀*b²=6951000*1,21/2,1=8010200

Искомая разница в выплате будет составлять: 8385300-8010200=375100

Ответ: 375100

Рассмотрим 4 тип задачи на сложные проценты»:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке некоторую сумму в кредит под 12% годовых. Схема выплаты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк платеж 3512320 рублей. Какую сумму взял Алексей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:

b=1+0,12=1.12

Очевидно, чтоА₀*b³-

*X=0. Тогда, А₀=(3512320*0,404928)*(1,404928*0,12)=8436000

Ответ: 8436000

Рассмотрим 5 тип задачи на «сложные проценты»:

Алексей хочет взять в кредит 1,2 млн рублей. Погашение кредита происходит в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Родион взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 320 тыс рублей?

Решение:

Пусть через n лет кредит будет погашен. Тогда А₀*bⁿ-

*X=0. Таким образом, X=

. По условию задачи

1200000*1,1ⁿ*0,1

320000*(1,1ⁿ-1). Разделив обе части неравенства на 10000, получим:

12*1,1ⁿ

32*(1,1ⁿ-1). Тогда 20*1,1ⁿ

. 1,1ⁿ

. Это возможно, если n

. Следовательно, минимальное количество лет на который может взять Алексей кредит с выплатой не более 320000 равно 5.

Ответ:5