Множество значений функции

2. 
   Примеры, сводящиеся к замене переменных и исследованию получившейся функции на заданном промежутке.
   

1. 
   Найти множество значений функции у = -
   

Решение:
= t , t > 0

g(t) = 2t – t²

= 1;
Ответ: Е(у) = (- ∞; 1]

2. 
   Найти наименьшее значение функции
   

у = ( х² – х + 1)( х² – х + 2)
Решение:
x² – х = t , t ≥ -

Исследуем функцию g(t) = ( t + 1)(t + 2) на [; +∞

g(t) = t² + 3t + 2

не принадлежит промежутку [-; +∞)

= g(-) = - 3∙ + 2=
=

3. 
   Найти множество значений функции
   

y = cos2x – 4cosx
Решение:
У=2cos²x– 4cosx-1

Пусть соs x = t, -1

g(t) = 2t² – 4t – 1

t₀=1

g(1) = - 3

g(-1)= 5
Ответ: E(y) = [-3;5]

4. 
   Найти множество значений функции
   

У=

Решение:
ООФ(0;0,01)U(0,01;1)U(1;∞)

Пусть lgx = t, , t≠0,t ≠ -2

g(t)=

g(t)=

g(t)=
Учитывая, что t≠0,t ≠ -2, получаем Е(у)=[1;2)U(2;∞)
Ответ: Е(у)=[1;2)U(2;∞)
5) Найти наибольшее значение функции

у = х +log₂

Решение:
Пусть 2^х = t, 0
x= log₂t

y(t)= log₂t + log₂
y(t)= log₂(t)
y(t)= log₂
Рассмотрим функцию g(t) = 6t² – t³ на (0;6)
g(t) = 12t – 3t²
3t(4-t) = 0
g_наиб= g(4) =6∙16 – 64 = 32
y_наиб=log₂ =
Ответ:
6) Найти множество значений функции

y = 3cos2x + 4sin2x + 4sinx + 8cosx
Решение:
Y = 5cos(2x – α) + 4 cos(x – β)
tg α =; tg β =
tg2 β = =

α = 2β

у = 5 cos(2x – 2β) + 4 cos(x – β)

у = 5(2cos²(x –β) - 1) + 4 cos(x – β)

Пусть cos(x – β)= t, ≤1

y = 5(2t² – 1) +4t

y =10t²+4t – 5

t₀= -

y(- ) = -7

y(-1)= 5 - 4

y(1) = 5 + 4

E(y) = [-7; 5 + 4]

Ответ: E(y) = [-7; 5 + 4]
7) Найти множество значений функции

у =

Решение:
t= cos²x + 3, 3≤ t ≤4

cos2x = 2cos²x – 1 = 2t – 7

y = 2t + - 7

y’= 2 -

y’ > 0 на [3; 4]

у(3) = ; у(4) = 2
Ответ: Е(у) =[; 2]

3. 
   Примеры, сводящиеся к решению уравнения с параметром.
   

1) Найти множество значений функции у =

Решение:
Выясним, при каком значении параметра «у» данное уравнение имеет решение.

у(х²+х+1) = х²-3х+1

(1-у)х² – (3+у)х + 1 – у = 0

1. 
   Если у = 1,то 0х² – 4х + 1 -1 = 0, х=0
   

2. 
   Если у ≠1, то квадратное уравнение имеет корни, если D≥0
   

D = - 3y² + 14y + 5.
- 3y² + 14y + 5≥0

у ≠1
Решив данную систему неравенств, получим

-≤у<1; 1

3. 
   Учитывая, что при у=1 уравнение имеет решение, получаем ответ: Е(у)= [-; 5]
   

Ответ: Е(у)= [-; 5]

2) Найти множество значений функции

У=

Решение:
ycos x – 2y = 6cosx

(y- 6) cosx = 2y

сosx =

• 
  1 ≤≤ 1
  

Решив данное неравенство, получим - 6 ≤у ≤2
Ответ: Е(у) = [- 6; 2]

3. 
   Найти множество значений функции
   

у = х⁴

Решение:

D(y) = (0; 1)U(1;+∞)

Выясним, при каком значении параметра у данное уравнение имеет решение.

= 4 +

- 4 - = 0

Пуст = t

Квадратное уравнение 4t² - t + 1 = 0 имеет решения, если D≥0

D = log₂²y – 16 ≥0

или

0 y ≥ 16
Ответ: Е(у) = (0 ; ]U[16;∞)

3. 
   Найти множество значений функции у =
   

Решение:

y( - 2) =

=

, получим у ≤ 0; у > 1

4. 
   Использование неравенства a + ≥ 2, а>0
   

1. 
   Найти наименьшее значение функции
   

у =, где х>0
Решение:

У = х + + 5

У = 2( + ) + 5

У_наим= 9
Ответ:9

2. 
   Найти наименьшее значение функции
   

у = , если х < 1
Решение:

У = 1 – х + + 1

Так как 1 – х + ≥ 2 при условии х < 1, то у_наим = 3
Ответ: у_наим = 3

3. 
   Решить уравнение:
   

+

Решение:
X²- 4x + 6 = (х – 2)² + 2 > 1, следовательно, >0,

, так как , если a>1, b>1, то >0

Таким образом,

+ (сумма двух взаимно обратных положительных чисел всегда не меньше 2)

= - ( х² – 6х + 9) + 2 = - ( х – 3)² + 2 ≤ 2

л.ч. = пр.ч.= 2

-х² + 6х -7 = 2

х² - 6х +9 = 0

х = 3

Подставив х = 3 в левую часть уравнения, убедимся, что х = 3 является корнем данного уравнения
Ответ: 3

Найти множество значений функций:

Замена переменных и исследование функции на промежутке	Ответ	Решение уравнения с параметром	Ответ
y = сos2x + cosx y=2sin2x – sinx y = y = y=cos((πsinx)/3) y=sin((πcos)/4) y= y= y= 2- 10)y= - 2- 11)y= +2cos4x 12) y=- 2cos4x	[-;2] [-;3] [3;6)U(6;∞) [1;2)U(2;∞) [1/2;1] [-;] [0;1] [0;1] [-1;2] [-10;-6] [3;7] [1;14/5]	1)y = 2)y = y= 4)y= 5)y= 6)y= 7)y= 8)y= 9)y= 10)y= 11)y= 12)y=	[5;∞) [3;∞) [-;1] (0;1] (1/2;1) (1/5;1) [-1;∞) [-1;3] [-3;3] [-1;1] [-;] [-