Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3

Скачать 173.91 Kb. Название Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №3 Дата 06.04.2016 Размер 173.91 Kb. Тип Документы

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 3 Учитель Короткова Ася Эдиковна г. Курганинск 2008г. С О Д Е Р Ж А Н И Е Введение ……………………………………………… 2-3 Периодические функции и их свойства ……………. 4-6 Задачи ………………………………………………… 7-14 Введение Отметим, что у задач на периодичность в учебно-методической литературе нелёгкая судьба. Объясняется это странной традицией-допускать те или иные небрежности в определении периодических функций, которые приводят к к спорным решениям и провоцируют инциденты на экзаменах. Например, в книге «Толковый словарь математических терминов» - М, 1965г., даётся следующее определение: «периодическая функция – функция y = f(х), для которой существует число t > 0, что для всех х и х+t из области определения f(x + t) = f(х). Приведём контр-пример, показывающий некорректность этого определения. По этому определению периодической с периодом t = 2π будет функция с(x) = Cos(√x)2 – Cos(√4π - x)2 с ограниченной областью определения [0; 4π], что противоречит общепринятой точке зрения о периодических функциях. Аналогичные проблемы возникают и во многих новейших альтернативных учебниках для школы. В учебнике А.Н.Колмогорова приводится следующее определение: «Говоря о периодичности функции f, полагают, что имеется такое число Т ≠ 0, что область определения Д (f) вместе с каждой точкой х содержит и точки, получающиеся из х параллельным переносом вдоль оси Ох (вправо и влево) на расстояние Т. Функцию f называют периодической с периодом Т ≠ 0, если для любого из области определения значения этой функции в точках х, х – Т, х + Т равны, т.е. f (х + Т) = f (х) = f (х – Т)». Далее в учебнике написано: «Поскольку синус и косинус определена на всей числовой прямой и Sin (х + 2π) = Sin х, Cos (х + 2π) = Cos х для любого х, синус и косинус – период функции с периодом 2π». В этом примере почему-то не проверяется требуемое в определении условия что Sin (х – 2π) = Sin х. В чём дело? Дело в том, что это условие в определении лишнее. Действительно, ведь если Т > 0 – период функции f(х), то Т тоже будет являться периодом этой функции. Хочу привести ещё одно определение из учебника М.И.Башмакова «Алгебра и начала анализа 10-11 кл.» «Функция у = f(х) называется периодической, если существует такое число Т ≠ 0, что равенство f (х + Т) = f(х) выполняется тождественно при всех значениях х». В приведённом определении ничего не говорится об области определения функции, хотя имеется в виду х из области определения, не любые действительные х. По такому определению периодической может быть функция у = Sin (√х)2, определенная только при х ≥ 0, что неверно. В едином государственном экзамене имеются задачи на периодичность. В одном научно- периодическом журнале в качестве тренинга по разделу С ЕГЭ было приведено решение задачи: « является ли функция у (х) = Sin2 (2+х) – 2 Sin 2 Sin х Cos (2+х) периодической?» В решении проявляется, что у (х – π) = у (х) в ответе – лишняя запись «Т = π» (ведь вопрос о нахождении наименьшего положительного периода не ставиться). Так ли необходимо для решения этой задачи проводить непростое тригонометрическое образование. Ведь здесь можно ориентироваться на понятие периодичности, как на ключевое в условии задачи. Решение. f1(x) = Sin х – периодическая функция с периодом Т = 2π f2(x) = Cos х – периодическая функция с периодом Т = 2π, тогда 2π – период и для функций f3(x) = Sin (2 + х) и f4(x) = Cos (2 + х), (это следует из определения периодичности) f5(x) = - 2 Sin 2 = Const, её периодом является любое число, в том числе и 2π. Т.к. сумма и произведение периодических функций с общим периодом Т, также является Т-периодичной, то данная функция периодичная. Надеюсь, что приведённый в этой работе материал, поможет при подготовке к единому государственному экзамену в решении задач на периодичность. Периодические функции и их свойства О п р е д е л е н и е: функция f(t) называется периодической, если для любого t из области определения этой функции Df существует число ω ≠ 0, такое, что: 1) числа (t ± ω) є Df ; 2) f (t + ω) = f(t). 1. Если число ω = период функции f (t), то число kω, где k = ±1, ±2, ±3, … тоже являются периодами функции f(t). П р и м е р. f (t) = Sin t. Число Т = 2π – наименьший положительный период данной функции. Пусть Т1 = 4π. Покажем, что Т1 тоже является периодом данной функции. F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t. Значит, Т1 – период функции f (t) = Sin t. 2. Если функция f(t) – ω – периодическая функция, то функции f (аt), где а є R, и f (t + с), где с – произвольная константа, тоже являются периодическими. Найдём период функции f (аt). f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), т.е. f (аt) = f (а(t + ω/а). Следовательно, период функции f(аt) – ω1 = ω/а. П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin t/2. П р и м е р 2. Найти период функции у = Sin (t + π/3). Пусть f(t) = Sin t; у0 = Sin (t0 + π/3). Тогда функция f(t) = Sin t примет тоже значение у0 при t = t0 + π/3. Т.е. все значения, которые принимает функция у принимает и функция f(t). Если t толковать как время, то каждое значение у0 функцией у = Sin (t + π/3) принимается на π/3 единиц времени раньше, чем функцией f(t) «сдвигом» влево на π/3. Очевидно, период функции от этого не изменится т.е. Ту = Т1. 3. Если F(x) – некоторая функция, а f(t) – периодическая функция, причём такая, что f(t) принадлежит области определения функции F(x) – DF, тогда функция F(f (t)) – периодическая функция. Пусть F(f (t)) = φ. Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) для любого t є Df . П р и м е р. Исследовать на периодичность функцию: F(x) = ℓ sin x. Область определения данной функции Df совпадает с множеством действительных чисел R. f (х) = Sin х. Множество значений этой функции – [-1; 1]. Т.к. отрезок [-1; 1] принадлежит Df , то функция F(x) периодическая. F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x). 2 π – период данной функции. 4. Если функции f1(t) и f2(t) периодические соответственно с периодами ω1 и ω2 и ω1/ω2 = r, где r – рациональное число, то функции С1f1(t) + С2f2(t) и f1(t) · f2(t) являются периодическими (С1 и С2 – константы). Замечание: 1) Если r = ω1/ω2 = p/q, т.к. r – рациональное число, тогда ω1q = ω2p = ω, где ω – наименьшее общие кратное чисел ω1 и ω2 (НОК). Рассмотрим функцию С1 f1(t) + С2 f2(t). Действительно, ω = НОК (ω1 , ω2) - период данной функции С1 f1(t) + С2 f2(t) = С1 f1(t+ ω1q) + С2 f2(t+ ω2p) + С1 f1(t) + С2 f2(t) . 2) ω – период функции f1(t) · f2(t), т.к. f1(t + ω) · f2(t + ω =f1(t +ω1q) · f2(t =ω2p) = f1(t) · f2(t). О п р е д е л е н и е: Пусть f1(t) и f (t) – периодические функции с периодами соответственно ω1 и ω2, тогда два периода называются соизмеримыми, если ω1/ω2 = r – рациональное число. 3) Если периоды ω1 и ω2 не соизмеримы, то функции f1(t) + f2(t) и f1(t) · f2(t) не являются периодическими. Т.е., если f1(t) и f2(t)отличны от константы, периодичны, непрерывны, их периоды не соизмеримы, то f1(t) + f2(t), f1(t) · f2(t) не являются периодическими. 4) Пусть f(t) = С, где С – произвольная константа. Данная функция периодичная. Её периодом является любое рациональное число, значит, наименьшего положительного периода она не имеет. 5) Утверждение верно и для большего числа функций. П р и м е р 1. Исследовать на периодичность функцию f(х) = Sin х + Cos х. Решение. Пусть f1(х) = Sin х, тогда ω1 = 2πk, где k є Z. Т1 = 2π – наименьший положительный период. f2(х) = Cos х, Т2 = 2π. Отношение Т1/Т2 = 2π/2π = 1 – рациональное число, т.е. периоды функций f1(х) и f2(х) соизмеримы. Значит, данная функция периодична. Найдём её период. По определению периодической функции имеем Sin (х + Т) + Cos (х + Т) = Sin х + Cos х, Sin (х + Т) - Sin х = Cos х - Cos (х + Т), 2 Cos 2х+ π/2 · Sin Т/2 = 2 Sin 2х+Т/2 · Sin Т/2, Sin Т/2 (Cos Т+2х/2 - Sin Т+2х/2) =0, √2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, следовательно, Sin Т/2 = 0, тогда Т = 2πk. Т.к. (х ± 2πk) є Df, где f(х) = Sin х + Cos х, f(х + t) = f(х), то функция f(х) – периодическая с наименьшим положительным периодом 2π. П р и м е р 2. Является ли периодическая функция f(х) = Cos 2х · Sin х, каков её период? Решение. Пусть f1(х) = Cos 2х, тогда Т1 = 2π : 2 = π (см. 2) Пусть f2(х) = Sin х, тогда Т2 = 2π. Т.к. π/2π = ½ - рациональное число, то данная функция является периодической. Её период Т = НОК (π, 2π) = 2π. Итак, данная функция периодическая с периодом 2π. 5. Пусть функция f(t), тождественно не равная константе, непрерывна и периодична, тогда она имеет наименьший положительный период ω0 , всякий другой период её ω имеет вид: ω = kω0, гдк k є Z. Замечание: 1) В этом свойстве очень важны два условия: f(t) непрерывна, f(t) ≠ С, где С – константа. 2) Обратное утверждение не верно. Т.е., если все периоды соизмеримы, то отсюда не следует, что существует наименьший положительный период. Т.е. у периодической функции наименьшего положительного периода может и не быть. П р и м е р 1. f(t) = С, периодическая. Её период – любое действительное число, наименьшего периода нет. П р и м е р 2. Функция Дирихле: 0, если х – рациональное число; D(х) = 1, если х – иррациональное число. Любое рациональное число является её периодом, наименьшего положительного периода нет. 6. Если f(t) – непрерывная периодическая функция и ω0 – её наименьший положительный период, то функция f(αt + β) имеет наименьший положительный период ω0/‌‌/α/. Это утверждение следует из п. 2. П р и м е р 1. Найти период функции у = Sin (2х – 5). Решение. у = Sin (2х – 5) = Sin (2(х – 5/2)). График функции у получается из графика функции Sin х сначала «сжатием» в два раза, затем «сдвигом» вправо на 2,5. «Сдвиг на периодичность не влияет, Т = π – период данной функции. Легко получить период данной функции, используя свойство п. 6: Т = 2π/2 = π. 7. Если f(t) – ω – периодическая функция, и она имеет непрерывную производную f'(t), то f'(t) тоже периодическая функция, Т = ω П р и м е р 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Её производная f'(t) = Cos t f'(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z. П р и м е р 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Её производная f'(t) = - Sin t, Т = 2πk, k є Z. П р и м е р 3. f(t) =tg t, её период Т = πk. f'(t) = 1/ Cos2t – тоже периодическая по свойству п. 7 и имеет период Т = πk. Её наименьший положительный период Т = π. З А Д А Ч И. № 1 Является ли функция f(t) = Sin t + Sin πt периодической? Решение. Для сравнения решим эту задачу двумя способами. Во-первых, по определению периодической функции. Допустим, что f(t) – периодическая, тогда для любого t є Df имеем: Sin (t + Т) + Sin π (t + Т) = Sin t + Sin πt, Sin (t + Т) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + Т), 2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2. Т.к. это верно для любого t є Df, то в частности и для t0, при котором левая часть последнего равенства обращается в ноль. Тогда имеем: 1) Cos 2t0 +Т/2 Sin Т/2 = 0. Разрешим относительно Т. Sin Т/2 = 0 при Т = 2 πk, где k є Z. 2) Cos 2πt0+ πt0/2 Sin πТ/2 = 0. Разрешим относительно Т. Sin πТ/2 = 0, тогда Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, где n є Z. Т.к. имеем тождество, то 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, чего быть не может, т.к. π – иррациональное число, а n/ k – рациональное. Т.е., наше предположение что функция f(t) – периодическая было не верным. Во – вторых, решение гораздо упрощается, если воспользоваться приведёнными выше свойствами периодических функций: Пусть f1(t) = Sin t, Т1 = 2 π; f2(t) = Sin πt, Т2 - 2π/π = 2. Тогда, Т1/Т2 = 2π/2 = π –иррациональное число, т.е. периоды Т1, Т2 не соизмеримы, значит, f(t) не является периодической. Ответ: нет. № 2 Показать, что если α – иррациональное число, то функция f(t) = Cos t + Cos αt не является периодической. Решение. Пусть f1(t) = Cos t, f2(t) = Cos αt. Тогда их периоды соответственно Т1 = 2π, Т2 = 2π//α/ - наименьшие положительные периоды. Найдём, Т1/Т2 = 2π/α//2π = /α/ - иррациональное число. Значит Т1 и Т2 несоизмеримы, а функция f(t) не является периодической. № 3 Найти наименьший положительный период функции f(t) = Sin 5t. Решение. По свойству п.2 имеем: f(t) – периодическая; Т = 2π/5. Ответ: 2π/5. № 4 Является ли периодической функция F(х) = arccos x + arcsin x? Решение. Рассмотрим данную функцию F(х) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π, т.е. F(х) – периодическая функция (см. свойство п. 5, пример 1.). Ответ: да. № 5 Является ли периодической функция f(х) = Sin 2х + Cos 4х + 5 ? решение. Пусть f1(х) = Sin 2х, тогда Т1 = π; f2(х) = Cos 4х, тогда Т2 = 2π/4 = π/2; f3(х) = 5, Т3 – любое действительное число, в частности Т3 можем предположить равным Т1 или Т2. Тогда период данной функции Т = НОК (π, π/2) = π. Т.е., f(х) – периодическая с периодом Т = π. Ответ: да. № 6 Является ли периодической функция f(х) = х – Е(х), где Е(х) – функция, ставящая аргументу х в соответствие наименьшее целое число, не превосходящее данное. Решение. Часто функцию f(х) обозначают {x} – дробная часть числа х, т.е. f(х) = {x} = х – Е(х). Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует такое число Т >0, что х – Е(х) = х + Т – Е(х + Т). Распишем это равенство {x} + Е(х) – Е(х) = {x + T} + E(х + Т) – Е(х + Т), {x} + {x + T} – верно для любого х из области определения Df, при условии, что Т ≠ 0 и Т є Z. Наименьшее положительное из них Т = 1, т.е. Т =1 такое, что х + Т – Е(х + Т) = х – Е(х), причём, (х ± Тk) є Df, где k є Z. Ответ: данная функция периодична. № 7 Является ли периодичной функция f(х) = Sin х2. Решение. Допустим, что f(х) = Sin х2 периодическая функция. Тогда по определению периодической функции существует число Т ≠ 0 такое, что: Sin х2 = Sin (х + Т)2 для любого х є Df. Sin х2 = Sin (х + Т)2 = 0, 2 Cos х2 + (х+Т)2/2 Sin х2-(х+Т)2/2 = 0, тогда Cos х2 + (х+Т)2/2 = 0 или Sin х2-(х+Т)2/2 = 0. Рассмотрим первое уравнение: Cos х2 + (х+Т)2/2 = 0, х2 + (х+Т)2/2 = π(1+2 k)/2 (k є Z), Т = √ π(1+2 k) – х2 – х. (1) Рассмотрим второе уравнение: Sin х2-(х+Т)2/2 = 0, х + Т = √- 2πk + х2, Т = √х2 - 2πk – х. (2) Из выражений (1) и (2) видно, что найденные значения Т зависит от х, т.е. не существует такого Т>0, что Sin х2 = Sin (х+Т)2 для любого х из области определения этой функции. f(х) – не периодична. Ответ: нет № 8 Исследовать на периодичность функцию f(х) = Cos2 х. Решение. Представим f(х) по формуле косинуса двойного угла f(х) = 1/2 + 1/2 Cos 2х. Пусть f1(х) = ½ , тогда Т1 – это может быть любое действительное число; f2(х) = ½ Cos 2х – периодическая функция, т.к. произведение двух периодических функций, имеющих общий период Т2 = π. Тогда наименьший положительный период данной функции Т = НОК (Т1, Т2) =π. Итак, функция f(х) = Cos2х – π – периодична. Ответ: π – периодична. № 9 Может ли областью определения периодической функции быть: а) полупрямая [а, ∞), б) отрезок [0, 1] ? Решение. Нет, т.к. а) по определению периодической функции, если х є Df, то х ± ω тоже должны принадлежать области определения функции. Пусть х = а, то х1 = (а – ω) є [а, ∞); б) пусть х = 1, то х1 = (1 + Т) є [0, 1]. № 10 Может ли периодическая функция быть: а) строго монотонной; б) чётной; в) не чётной? Решение. а) Пусть f(х) – периодическая функция, т.е. существует Т≠0 такое, что для любого х из области определения функций Df чтсла (х ±Т) є Df и f (х±Т) = f(х). Зафиксируем любое х0 є Df, т.к. f(х) – периодическая, то (х0+Т) є Df и f(х0) = f(х0+Т). Допустим, что f(х) строго монотонна и на всей области определения Df, например, возрастает. Тогда по определению возрастающей функции для любых х1 и х2 из области определения Df из неравенства х1< х2 следует, что f(х1) < f(х2). Вчастности, из условия х0<х0 + Т, следует, что f(х0) 0 +Т), что противоречит условию. Значит, периодическая функция не может быть строго монотонной. б) Да, периодическая функция может быть чётной. Приведём несколько примеров. f(х) = Cos х, Cos х = Cos (-х), Т = 2π, f(х) – чётная периодическая функция. 0, если х – рациональное число; D(х) = 1, если х – иррациональное число. D(х) = D(-х), область определения функции D(х) симметрична. Функция Дирехле D(х) является чётной периодической функцией. f(х) = {x}, f(-х) = -х – Е(-х) = {-x} ≠ {x}. Данная функция не является чётной. в) Периодическая функция может быть нечётной. f(х) = Sin х, f(-х) = Sin (-х) = - Sin = - f(х) f(х) – нечетная периодическая функция. f(х) – Sin х · Cos х, f(-х) = Sin (-х) Cos (-х) = - Sin х Cos х = - f(х) , f(х) – нечётная и периодическая. f(х) = ℓSin x, f(-х) = ℓSin(- x) = ℓ-Sin x≠ - f(х), f(х) не является нечётной. f(х) = tg x – нечётная периодическая функция. Ответ: нет; да; да. № 11 Сколько нулей может иметь периодическая функция на: 1) [a, б]; 2) на всей числовой оси, если период функции равен Т? Решение: 1. а) На отрезке [а, б] периодическая функция может не иметь нулей, например, f(х) = С, С≠0; f(х) = Cos х + 2. б) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь бесконечное множество нулей, например, функция Дирехле 0, если х – рациональное число, D(х) = 1, если х – иррациональное число. в) На отрезке [а, б] периодическая функция может иметь конечное число нулей. Найдём это число. Пусть Т – период функции. Обозначим Х0 = {min x є{a,б}, таких что f(х) = 0}. Тогда число нулей на отрезке [а, б]: N = 1 + Е (в-х0/Т). Пример 1. х є [-2, 7π/2], f(х) = Cos2х – периодическая функция с периодом Т = π; х0 = -π/2; тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке N = 1 + Е (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + Е (8π/2π) = 5. Пример 2. f(х) = х – Е(х), х є [-2; 8,5]. f(х) – периодическая функция, Т + 1, х0 = -2. Тогда число нулей функции f(х) на данном отрезке N = 1 + Е (8,5 – (-2)/1) = 1 + Е (10,5/1) = 1 + 10 = 11. Пример 3. f(х) = Cos х, х є [-3π; π], Т0 = 2π, х0 = - 5π/2. Тогда число нулей данной функции на заданном отрезке N = 1 + Е (π – (-5π/2)/2π) = 1 + Е (7π/2π) = 1 + 3 = 4. 2. а) Бесконечное число нулей, т.к. х0 є Df и f(х0) = 0, то для всех чисел Х0 +Тk, где k є Z, f(х0 ± Тk) = f(х0) =0, а точек вида х0 ± Тk бесконечное множество; б) не иметь нулей; если f(х) – периодическая и для любых х є Df функция f(х) >0 или f(х)<0. Например: f(х) = Sin х +3,6; f(х) = С, С ≠ 0; f(х) = Sin х – 8 + Cos х; f(х) = Sin х Cos х + 5. № 12 Может ли сумма не периодических функций быть периодической? Решение. Да, может. Например: f1(х) = х – непериодическая, f2(х) = Е(х) – непериодическая f(х) = f1(х) – f2(х) = х – Е(х) – периодическая. f1(х) = х – непериодическая, f(х) = Sin х + х – непериодическая f(х) = f2(х) – f1(х) = Sin х – периодическая. Ответ: да. № 13 Функция f(х) и φ(х) периодические с периодами Т1 и Т2 соответственно. Всегда ли их произведение есть периодическая функция? Решение. Нет, только в случае, когда Т1 и Т2 – соизмеримы. Например, f(х) = Sin х · Sin πх, Т1 = 2π, Т2 = 2; тогда Т1/Т2 = 2π/2 = π – иррациональное число, значит, f(х) не является периодической. f(х) = {х} Cos х = (х – Е(х)) Cos х. Пусть f1(х) = х – Е(х), Т1 = 1; f2(х) = Cos (х), Т2 = 2π. Т2/Т1 = 2π/1 = 2π, значит f(х) не является периодической. Ответ: Нет. Задачи для самостоятельного решения Какие из функций являются периодическими, найти период? 1. f(х) = Sin 2х, 10. f(х) = Sin х/2 + tg х, 2. f(х) = Cos х/2, 11. f(х) = Sin 3х + Cos 4х, 3. f(х) = tg 3х, 12. f(х) = Sin2 х+1, 4. f(х) = Cos (1 – 2х), 13. f(х) = tg х + ctg√2х, 5. f(х) = Sin х Cos х, 14. f(х) = Sin πх + Cos х, 6. f(х) = ctg х/3, 15. f(х) = х2 – Е(х2), 7. f(х) = Sin (3х – π/4), 16. f(х) = (х – Е(х))2, 8. f(х) = Sin4 х + Cos4х, 17. f(х) = 2х – Е(х), 9. f(х) = Sin2 х, 18. f(х) = х – n + 1, если n ≤ х≤ n + 1, n = 0, 1, 2… № 14 Пусть f(х) – Т – периодическая функция. Какие из функций периодические (найти Т)? φ(х) = f(х + λ) – периодическая, т.к. «сдвиг» вдоль оси Ох на ω не влияет; её период ω = Т. φ(х) = а f(х + λ) + в – периодическая функция с периодом ω = Т. φ(х) = f(kх) – периодическая функция с периодом ω = Т/k. φ(х) = f(ах + в) - периодическая функция с периодом ω = Т/а. φ(х) = f(√х) не является периодической, т.к. её область определения Dφ = {x/x ≥ 0}, а у периодической функции область определения полуосью быть не может. φ(х) = (f(х) + 1/(f(х) – 1) – периодическая функция, т.к. φ(х +Т) = f(х+Т) + 1/f(х +Т) – 1 = φ(х), ω = Т. φ(х) = а f2(х) + в f(х) + с. Пусть φ1(х) = а f2(х) – периодическая, ω1 = т/2; φ2(х) = в f(х) – периодическая, ω2 = Т/Т = Т; φ3(х) = с – периодическая, ω3 – любое число; тогда ω = НОК(Т/2; Т) = Т, φ(х) – периодическая. Иначе, т.к. областью определения данной функции является вся числовая прямая, то множество значений функции f – Еf є Dφ, значит, функция φ(х) – периодическая и ω = Т. φ(х) = √φ(х), f(х) ≥ 0. φ(х) – периодическая с периодом ω = Т, т.к. для любого х функция f(х) принимает значения f(х) ≥ 0, т.е. её множество значений Еf є Dφ, где Dφ – область определения функции φ(z) = √z. № 15 Является ли функция f(х) = х2 периодической? Решение. Рассмотрим х ≥ 0, тогда для f(х) существует обратная функция √х, значит, на этом интервале f(х) – монотонная функция, тогда она не может быть периодической (см. № 10). № 16 Дан многочлен P(х) = а0 + а1х + а2х + …аnх. Является ли Р(х) периодической функцией? Решение. 1. Если тождество равно константе, то P(х) – периодическая функция, т.е. если аi = 0, где i ≥ 1. 2.Пусть P(х) ≠ с, где с – некоторая константа. Допустим P(х) – периодическая функция, и пусть P(х) имеет вещественные корни, тогда т.к. P(х) - периодическая функция, то их должно быть бесконечное множество. А по основной теореме алгебры их число k таково, что k ≤ n. Значит, P(х) не является периодической функцией. 3. Пусть P(х) тождественно неравный нулю многочлен, и он не имеет вещественных корней. Допустим, P(х) – периодическая функция. Введём многочлен q(х) = а0, q(х) – периодическая функция. Рассмотрим разность P(х) - q(х) = а1х2 + … +аnхn. Т.к. в левой части равенства стоит периодическая функция, то функция, стоящая в правой части, тоже периодична, причём, она имеет хотя бы один вещественный корень, х = 0. Т.к. функция периодична, то нулей должно быть бесконечное множество. Получили противоречие. P(х) не является периодической функцией. № 17 Дана функция f(t) – Т – периодическая. Является ли функция fк(t), где k є Z, периодической функцией, как связаны их периоды? Решение. Доказательство проведём методом математической функции. Пусть f1 = f(t), тогда f2 = f2(t) = f(t) · f(t), f2 – периодическая функция по свойству п. 4. F3 = f3(t) = f(t) · f2 – периодическая функция по свойству п. 4. …………………………………………………………………………. Пусть fк-1 = fк-1(t) – периодическая функция и её период Тк-1 соизмерим с периодом Т. Умножим обе части последнего равенства на f(t), получим fк-1·f(t) = f(t) ·fк-1(t), fк = fк(t) – периодическая функция по свойству п.4. ω ≤ Т. № 18 Пусть f(х – произвольная функция, определённая на [0; 1]. Является ли функция f({x}) периодической? О т в е т: да, т.к. множество значений функции {x} принадлежит области определения функции f(х), то по свойству п.3 f({x}) – периодическая функция, её период ω = Т = 1. № 19 f(х) – произвольная функция, определённая на [-1; 1], является ли функция f(sinx) периодической? О т в е т: да, её период ω = Т = 2π (доказательство аналогично № 18).