Решение задачи C2 егэ по математике векторно- координатным методом

Название	Решение задачи C2 егэ по математике векторно- координатным методом
Дата	10.04.2016
Размер	56.48 Kb.
Тип	Решение

Решение задачи C2 ЕГЭ по математике векторно- координатным методом.

Как научиться решать задачи C2 из ЕГЭ по математике? Этот вопрос в преддверии экзамена возникает у будущих выпускников все чаще. Существует три основных метода решения задач C2 из ЕГЭ по математике. Условно назовем их «методом построений», «векторным методом» и «методом объемов». Каждый из них удобен в том или ином случае, поэтому лучше знать и уметь использовать все три.

Наиболее универсальным является «метод построений», с его помощью можно решить практически любую задачу по стереометрии из тех, что предлагаются в вариантах ЕГЭ по математике. Однако, он не всегда целесообразен с точки зрения временных и вычислительных затрат. В этом случае на помощь приходят два оставшихся метода.

Чтобы решать задачи C2 с использованием «метода построений» .необходимым (но, конечно, не достаточным) условием является безупречное знание и понимание основных теорем стереометрии, связанных с взаимным расположением прямых и плоскостей в пространстве. Они потребуются для доказательств, которые непременно сопровождают решение практически любой задачи C2, без которых часть баллов за это задание на экзамене может быть потеряна. «Метод построений» универсален и подходит для решения практически любой задач C2 по математике, но при этом зачастую приходится проводить множество различных доказательств, поэтому его не всегда можно назвать целесообразным. В том случае, если требуется найди угол между двумя прямыми, иногда удобнее использовать так называемый «векторный метод».

Второй случай, когда не всегда целесообразно использовать «метод построений», связан с нахождением расстояния от точки до плоскости. Здесь на помощь может прийти так называемый «метод объемов».

Насколько сложной может быть задача С2 на ЕГЭ и как обучать ее решению? Необходимо ли заострять внимание школьников на общих аналитических векторных приемах или подготовку к сложной стереометрии провести на частных методах, с использованием перпендикуляров, параллельностей, треугольников и объемов? Вряд ли можно дать однозначный ответ на такой вопрос. Даже в том случае, когда предоставляется необходимое время, а ученик располагает необходимыми способностями для усвоения внепрограммного материала (некоторых разделов аналитической геометрии), вводить на занятиях метод координат следует очень осторожно.

Векторные приемы изучаются в школе в весьма ограниченном количестве. В базовый учебник стереометрии Л.С. Атанасяна включен целый параграф «скалярное произведение векторов» и даже отдельно рассматривается нахождение углов между объектами. Однако дальше темы «вычисление угла между прямыми» и осторожного намека на аналогичный алгоритм для прямой и плоскости материал не рассматривается. И даже не вводится такое понятие, как «нормаль».

Как правило учитель выбирает одну из трех стратегий подготовки к задаче С2 на ЕГЭ:

1) Полный отказ от векторных приемов

2) Изучение отдельных алгоритмов

3) Демонстрация всех приемов (без доказательств) для самых сильных учеников.

Координатный метод позволяет рассматривать множество самых трудных задач на вычисление всех видов углов (между прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями) и любых расстояний (от точки до плоскости, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми). С тремя последними работать сложнее всего, ибо приходится затрагивать тему «уравнение плоскости», «смешанное и векторное произведение векторов». К тому же аккуратный вывод самих формул заставляет прилично углубиться в теорию, без которой добиться 100%-го понимания будет невозможно.

При работе в координатах со средним по силе учеником, учебный план включает в себя работу только с алгоритмами поиска углов..

Преимущество методов аналитической геометрии перед альтернативным решением средствами дополнительных построений состоит в том, что удается полностью отстраниться от чертежа и заниматься исключительно числами (координатами). Поэтому в определенных условиях подготовки к ЕГЭ по математике удается натаскать ученика на стандартные решения. Причем за весьма короткий срок и в обход большого количества тем.

Если у школьника имеются серьезные проблемы с пониманием определений, с чтением или построением сложного стереометрического рисунка, если ему никак не удается подобрать необходимые дополнительные построения, то можно построить работу по С2 на векторах. Особенно это актуально в условиях экстренной помощи, когда на подготовку к ЕГЭ отводится всего лишь 2-3 месяца. Если у преподавателя нет времени на неспешный комплексный подход, то лучше все го сразу обратиться к координатам.

Три проблемы координатного метода:

О каких проблемных ситуациях необходимо помнить? Какие ошибки чаще всего допускаются школьниками?

1) От того, что забывают алгоритм поиска нормали

2) Путаются с введением системы координат или с определением координат у точек (задающих прямые и плоскости) в разных многогранниках.

3) Не справляются с вычислениями, если в координаты вершин попадают квадратные корни. Обычно эта ситуация возникает в треугольных пирамидах .

Именно поэтому отдельно останавливается на этих компонентах. Третью проблему снять не удается. Пирамиду не переделаешь. А вот получить практику нахождения нормали и научиться определять координаты вполне реально.

Какую подготовку к восприятию векторных приемов проводит учитель?

Необходимо повторить следующие темы:

1) Координаты точки и координаты вектора

2) Длина вектора

3) скалярное произведение векторов

4) координаты середины отрезка (на случай, если плоскость или прямая будут заданы серединами каких-нибудь диагоналей или ребер у пирамид).

Как и в других темах у меня есть свои приемы для запоминания формул. Какие формулы тяжелее всего запомнить? Те, которые нужно учить целыми блоками, которые в целом схожи друг с другом, но расходятся в мелочах. Вот эти мелочи из головы как раз и выпадают, ибо тонут в общей массе знаков. Как следует поступить с формулами нахождения углов? Для этого вспомним их содержание.

Угол между векторами (между прямыми)

На каждой прямой AB и CD выбираются удобные точки, определяются их координаты, вычитаются и вот оно — главное оружие репетитора — направляющие векторы и

Косинус угла между прямыми равен модулю косинуса угла между направляющими векторами, а сам косинус вычисляется через их длины и скалярное произведение. Ученик записывает в теоретическую тетрадь формулу:

Угол между прямой и плоскостью

Пусть даны вектор , перпендикулярный к некоторой плоскости (ее нормаль), и направляющий вектор для прямой AB.

Синус угла между прямой AB и равен модулю косинуса угла между нормалью и направляющим вектором прямой AB

Угол между плоскостями

Пусть и — две любые нормали к плоскостям.

Тогда косинус угла между плоскостями равен модулю косинуса угла между нормалями. Учитель дает фронтальное изображение плоскостей и показывает схожую с предыдущими формулу и снова обращает внимание на необходимость поставить модуль. На вопрос: «Зачем нужен модуль?» учитель отвечает так:«Если его убрать, то острый угол между прямыми может оказаться отрицательным (при тупом угле между векторами)».

Как справиться с проблемой заучивания?Почему школьники забывают формулы? Не только потому, что мало решают задачи. Сложно запомнить сразу несколько формул, которые к тому же еще и похожи друг на друга. Практика показывает, что школьники совершенно не умеют отслеживать отличия и взаимосвязи в содержании с теми объектами или процессами, которые формулы описывают. Необходимо учить школьников искать эти особенности — маленькие зацепочки, при помощи которых можно быстрого и легко запомнить состав функций, знаков, операций.

Формулы для нахождения углов по координатам — не исключение. Ученику сложно запомнить, с какой функции каждая их них начинается? Если обратить его внимание на участие в каждой из них косинуса (он занимается непосредственным вычислением), то это поможет запомнить среднее звено. Как вспомнить функцию, с которой формула начинается? Заметим, что если объекты, между которыми ищется угол, — разного вида (плоскость и прямая), то и тригонометрические функции будут разного вида (включаем ассоциативную память), а если одного вида (две прямые или две плоскости), то и функций будут одного вида. Поскольку косинус закрепелен «намертво», то при «разных» начинаем с синуса, а при «равных» с этого же косинуса. Очень просто запоминается. Кроме этой закономерности неплохо было бы выделить общий характер формул: синус/косинус угла между объектами равен модулю косинуса угла между их заменителями. Заменителем прямой является направляющий вектор, а заменителем плоскости — ее нормаль (любая).

Правильная подготовка к ЕГЭ по математике включает в себя обязательную практику решения задач методом координат. Причем в 50% случаев я рассказываю тему «уравнение плоскости» и даже вывожу формулу расстояния от точки до плоскости. Большинство учащихся решают задачи С2 именно координатно-векторным методом или используют его для проверки полученного решения.