Методические рекомендации по организации и проведению урока систематизации и обобщения по теме «Прогрессии» 27 Анализ темы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
 Скачать 0.79 Mb.
|
1. 2. Анализ теоретического материалаПроведем логико- дидактический анализ темы «Арифметическая и геометрическая прогрессия» по учебнику «Алгебра 9» авторского коллектива Алимов Ш.А., Колягин Ю.Н. и др. Выбор данного учебного пособия объясняется его широким использованием при обучении в общеобразовательных учреждениях Нижегородской области. В теме «Прогрессии» (глава 5) выделены следующие четыре крупных блока: 1. Числовая последовательность 2. Арифметическая прогрессия 3. Геометрическая прогрессия 4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Проведем анализ теоретического материала каждого из них. В параграфе «Числовая последовательность» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы: понятие числовой последовательности (конечной и бесконечной) и способы ее задания, определение n-ого члена последовательности и его номера. Понятие, последовательность вводится через практический пример, на интуитивном уровне, строгого определения не дается. Более целесообразно ввести определение последовательности, как частного случая функции (числовая последовательность есть функция натурального аргумента), так как введение корректного определения будет способствовать более органичному соединению с предыдущими разделами курса, созданию внутрипредметных связей. Далее рассматриваются способы задания последовательности: словесный, описанием, аналитический и рекуррентный. Особое внимание авторы уделяют двум последним, так как именно эти способы задания используются для введения определения геометрической и арифметической прогрессии и доказательств теорем в данной теме. Отсюда следует необходимость более подробной и детальной проработки их с учащимися. Выделение учителем сходств, отличий, положительных и отрицательных моментов применения (в зависимости от целей задачи) различных способов задания последовательностей. Второй блок в теме «прогрессии» - арифметическая прогрессия. Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц:
Определение арифметической прогрессии: «Числовая последовательность а1, а2, а3, ... , аn,... называется арифметической прогрессией, если для вех натуральных n выполняется равенство аn+1 = аn + d, где d - некоторое число». Оно дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность». Видовое отличие задается индуктивно, с помощью рекуррентного способа задания последовательности, следовательно, необходима актуализация данной формы задания. Возможна следующая словесная формулировка: Арифметической прогрессией называется числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, получается из предыдущего прибавлением одного и того же числа. Итак, можно сделать выводы о том, что учителю нужно обратить внимание на отработку следующих особенностей определения: 1. Какое понятие является родовым (числовая последовательность); 2. Каковы видовые отличия: • выполнение рекуррентной формулы со второго члена; • необходимо задание первого члена и разности арифметической прогрессии - d; • постоянство числа d; • отсутствие ограничений на d (необходимо наличие заданий, где оно равно нулю, отрицательное, положительное, иррациональное, ... ); • выполнение формулы «для всех натуральных n»,а именно
Особое внимание следует уделить d - разности арифметической прогрессии и способу ее вычисления. Для мотивации изучения данного понятия можно предложить учащимся задачу на практическое применение арифметической прогрессии. Приведем примеры таких задач. 1. В физике - свободно падающее тело проходит в первую секунду 4,9 м, а в каждую следующую секунду на 9,8 м больше, чем в предыдущую. Какое расстояние пройдет тело за первую, вторую, третью, … секунду полета? 2. В третьем тысячелетии високосными годами будут годы 2004, 2008,2012, ... 3. На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля будет на складе через день, 2 дня, 3 дня, ... ? 4. В литературе. Вспомним строки из романа А.С.Пушкина «Евгений Онегин», сказанные о его герое: « ... Не мог он ямба от хорея, как мы ни бились, отличить». Отличие ямба от хорея состоит в различных расположениях ударных слогов стиха. Ямб - стихотворный метр с ударениями на четных слогах стиха: «Мой дядя самых честных правил ... » (2, 4, 6, 8, ... ). Хорей - стихотворный размер с ударением на нечетных слогах стиха: «Буря мглою небо кроет ... » (1, 3, 5, 7, ... ). Из определения арифметической прогрессии следует ее свойство. Рассмотрим данную теорему подробнее: «Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов». Этим объясняется название «арифметическая» прогрессия. В логической структуре теоремы присутствует· два условия (сложное условие): 1) последовательность - арифметическая прогрессия; 2) n> 1 Связь между условиями конъюнктивная. Заключение: . Способ доказательства синтетический, прием алгебраический (основан на использовании определения арифметической прогрессии). Имеются возможности для формирования навыков формулировки и доказательства обратного предложения: Если числовая последовательность такова, что каждый член последовательности, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - арифметическая прогрессия. Доказательство: - арифметическая прогрессия по определению. Так как доказаны свойство и признак арифметической прогрессии, то можно сформулировать критерий: Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов. Наличие критерия позволяет сформулировать равносильное определение - числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если каждый ее член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов. Необходимо отметить, что доказательство обратной теоремы и формулировка критерия и равносильного определения целесообразна в более сильном классе, в противном случае можно ограничиться моделированием обратной теоремы. Следующая дидактическая единица арифметической прогрессии: . В учебнике формула приведена без доказательства. Гипотеза о существовании данной формулы вводится на основе неполной индукции. Целесообразно объяснить ученикам, что умозаключение, сделанное на основе этого метода, является лишь вероятным и требует доказательства выдвинутой гипотезы. Ученикам можно предложить следующий способ доказательства: … n-равенств, сложим почленно Продолжая функциональную линию темы, можно отметить, что арифметическую прогрессию можно задать с помощью линейной функции , где - первый член арифметической прогрессии ( N). В качестве мотивации введения данной формулы учитель может попросить учеников найти, например, 255 член арифметической прогрессии, если = 2, d = 3. Зная только определение прогрессии, это сделать не совсем удобно, так как придется находить предыдущие 254 члена последовательности. Возникает потребность вывести формулу n-oгo члена. Теорема о сумме n первых членов арифметической прогрессии: Метод доказательства в логическом плане - синтетический, в содержательном - выражение одной и той же суммы двумя способами. Перейдем к рассмотрению третьего блока темы - «геометрическая прогрессия». Он включает в себя рассмотрение следующих дидактических единиц:
Определение геометрической прогрессии «числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если для вех натуральных n выполняется равенство , где q - некоторое число, не равное нулю». Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «числовая последовательность» соответствует родовому понятию в определении арифметической прогрессии. Видовое отличие также как в определении арифметической прогрессии задается индуктивно с помощью рекуррентной формулы· общего члена . Структура определений похожа число, но в случае с геометрической прогрессией сложение заменяется на умножение и есть ограничения на n-член последовательности и q (). Это требует дополнительного внимания и отработки на практике. Из выше сказанного можно сделать вывод, что отработка понятия геометрической прогрессии включает в себя те же особенности, что при введении определения арифметической прогрессии (перечислены ранее) и дополняется следующими: 1) ; 2) . В качестве мотивации для изучения данного понятия можно рассмотреть следующие задачи: 1. В благоприятных условиях бактерии размножаются так, что на протяжении одной минуты одна из них делится на две. Записать колонию, рожденную одной бактерией за одну, две, три, ... минуты. 2. Вкладчик внес в сберегательный банк 3000 р. Банк начисляет ежегодно 5 % от суммы вклада. Какой станет сумма вклада через один, два, три, ... года. Рассмотрим свойство геометрической прогрессии: «Если все члены прогрессии положительные, то , то есть каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Этим объясняется название «геометрическая» прогрессия». Структура формулировки теоремы аналогична структуре свойства арифметической прогрессии, а именно - имеет два условия. Первое условие также, накладывает ограничение на вид последовательности - «геометрическая прогрессия», второе условие на число n - n> 1, но появляется ограничение - все члены прогрессии положительны. Связь между условиями, как и в случае с арифметической прогрессией - конъюнктивная. Заключение выражено в виде формулы . Так же, как в характеристическом свойстве арифметической прогрессии, в формуле присутствует n, n-1, n+ 1 члены. Метод доказательства, как и в случае арифметической прогрессии, в логическом плане - синтетический, в содержательном - алгебраический, основанный на использовании определения геометрической прогрессии. Следует отметить сходство структуры доказательства:
Заметим, что полученная при доказательстве свойства формула верна для любых геометрических прогрессий, и лишь при переходе к выражению появляется ограничение на положительный знак элементов прогрессии. Причем переход от формуле также корректен. В результате чего данное свойство можно обобщить для любых геометрических прогрессий: Квадрат члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Либо - модуль каждого члена геометрической прогрессии, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Сформулированные свойства эквивалентны, поэтому для рассмотрения с учащимися учитель может выбрать оно из двух по своему усмотрению. К данным теоремам можно сформулировать обратные и доказать их истинность: Если числовая последовательность такова, что каждый квадрат члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия. Доказательство: Если числовая последовательность такова, что модуль каждого член последовательности, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов, то данная последовательность - геометрическая прогрессия. Доказательство: (далее доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы) - геометрическая прогрессия по определению. Схема данных доказательств аналогична схеме доказательств обратной теоремы к свойству арифметической прогрессии и использует тот же прием подведения под понятие. Так же как и в случае с арифметической прогрессии, возможна формулировка критерия, а значит и равносильного определения: 1 ) Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого члена последовательности, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если квадрат каждого ее члена, начиная со второго, равен произведению двух соседних с ним членов. 2) Критерий: Числовая последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Определение: Числовая последовательность называется геометрической прогрессией, если модуль каждого ее члена, начиная со второго, равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов. Как и в теме «арифметическая прогрессия» возможно создание связи с понятием функция, а именно представление геометрической прогрессии в виде функции где - первый член геометрической прогрессии. Проанализируем формулу n-члена геометрической прогрессии . Как и в случае с арифметической прогрессией, n-член зависит от первого члена, номера элемента (n-l) и числа - q. Но есть и следующие отличия: замена знака сложения на умножение, переход (n-l) в показатель числа q. Как и при выведении формулы n-члена арифметической прогрессии данное выражение получено на основе метода неполной индукции. Строгого доказательства в учебнике так же не приведено. Рассмотрим следующий способ доказательства: … n-равенств, умножим почленно Данное доказательство, аналогично доказательству теоремы о формуле n-члена арифметической прогрессии, в нем используется определение геометрической прогрессии, с помощью него выражаются n первых элементов прогрессии. Но в предоставленном доказательстве почленное сложение заменяется умножением. Рассмотрим следующую дидактическую единицу - формулу суммы п- первых членов геометрической прогрессии , (если q = 1, то . Формулы различны, хотя, как и в случае с арифметической прогрессии сумма зависит от первого члена и числа - q. В данном случае из- за присутствия ограничения на q () доказательство разбивается на два случая: q = 1 и . Вывод формулы для q = 1 прост и основывается на использовании определения геометрической прогрессии. Случай, когда имеет общие методы доказательства, что при выводе теоремы о сумме п-первых членов арифметической прогрессии, а именно: 1. в логическом плане метод доказательства - синтетический; 2. в содержательном - выражение суммы n первых членов используя формулу n-члена прогрессии. В качестве мотивации для введения формулы суммы n-первых членов геометрической прогрессии можно использовать легенду «о шахматной доске»: Шахматная игра была придумана в Индии, и когда индийский царь Шерам познакомился с нею, он был восхищен ее остроумием и разнообразием возможных в ней положений. Узнав, что она изобретена одним из его подданных, царь приказал его позвать, чтобы лично наградить за остроумную выдумку. Изобретатель, его звали Сета, явился к трону повелителя. Это был скромно одетый ученый, получавший средства к жизни от своих учеников. Царь решил отблагодарить ученого и сказал, что исполнит его самое смелое желание. Сета, издеваясь над царем, потребовал за первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, за вторую клетку - 2 зерна, за третью 4, за четвертую - 8, за пятую - 16, .... Таким образом, царь должен был отдать зерна за все 64 клетки доски. Много ли зерна попросил ученый? В параграфе «Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия» авторами рассматриваются следующие дидактические единицы:
Определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии: «Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы». Дано через род и видовые отличия. Родовое понятие - «геометрическая прогрессия». Видовое отличие задается описательно «модуль ее знаменателя меньше единицы». Рассмотрим следующую дидактическую единицу: Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называют число, к которому стремится сумма ее первых n членов при . Формула: Определение и формула бесконечно убывающей геометрической прогрессии вводится через предельный переход, что ново для учащихся. Перед введением данного понятия целесообразно рассмотреть конкретный пример и его графическую интерпретацию - задача 1 из §32, и только после этого переходить к формальному доказательству. Итак, сделаем общие выводы из приведенного анализа теоретического материала:
Из таблицы видно, что темы «Арифметическая» и «Геометрическая» прогрессии имеют одинаковую структуру: определение→ характеристическое свойство → формула n члена →формула суммы n первых членов. Причем первые три дидактические единицы в данных темах сопоставимы и противопоставимы. Отметим основные методологические знания данной темы: 1. Способы задания числовых последовательностей. 2. Определения арифметической и геометрической прогрессии, теоремы и формулы, относящиеся к ним. 3. Связь с темой «функция». 4. Арифметическая и геометрическая прогрессии частный вид числовой последовательности. Есть возможность для формирования следующих методов познания: сравнения, неполная индукция, классификация, умение переводить с естественного языка на математический и обратно. Так же из проведенного анализа теоретического материала сопоставимости некоторых понятий арифметической и геометрической прогрессии, - следует отметить наличие аналогии в данных темах. Данная особенность позволяет организовать самостоятельную познавательную деятельность учащихся, так как осознание закономерности схемы введения понятия арифметической прогрессии позволяет создать условия для выдвижения гипотез о свойствах и признаках геометрической прогрессии и методах доказательств данных теорем. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||