Методические рекомендации по организации и проведению урока систематизации и обобщения по теме «Прогрессии» 27 Анализ темы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
 Скачать 0.79 Mb.
|
Выводы к первой главе.В этой главе мы выделили такие характеристики знаний как системность и систематичность. Выяснили, в какой взаимосвязи они находятся, то, что систематичность подчинена системности. Для преобразования учеником систематических знаний в системные ему необходимо дважды перестроить знания, вначале свертывая их в сознании, а затем по-новому развертывая их при изложении. Перед школой стоит задача вооружить учащихся посильной для них системой научных знаний, соответствующей внутреннему строю и логике излагаемого материала. Формирование у учащихся системы знаний не возможно без их систематизации и обобщения. Систематизация знаний избавляет учащихся от необходимости запоминать материал как набор, сумму фактов. Обобщение знаний: • способствует превращению простой суммы знаний о понятиях, законах в целостную систему, • позволяет учащемуся переосмыслить знания по всему изученному материалу, • позволяет отыскать новые связи и отношения между понятиями. Обобщение и систематизация неотъемлемые свойства умственной деятельности, лежащие в основе установления существенных взаимосвязей между изучаемыми явлениями, и научного познания вообще. Обобщение и систематизация являются одной из задач обобщающего повторения. Существуют следующие виды обобщающих повторений: • на уровне понятий, • на уровне систем понятий, • на уровне теории. Обобщающие повторения эффективны при проведении уроков обобщения и систематизации знаний. В настоящей главе есть параграф, в котором говорится об организации урока обобщения и систематизации. Основными формами проведения урока данного типа являются: беседа, лекция и семинар. В данном случае целесообразно использовать репродуктивный, частично- поисковый и проблемный методы. Наиболее эффективными для уроков обобщения и систематизации являются такие приемы как сравнение, аналогия и классификация. То, что арифметическая и геометрическая прогрессии являются важнейшими звеньями одной из содержательных линий курса математики, а также актуальность, которая была определена во введении, позволяют сделать вывод о том, что необходима организация деятельности учащихся по обобщению и систематизации знаний об этих понятиях. Проектированию уроков данного типа по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии» посвящена вторая глава этой работы. Глава 2. Методические рекомендации по организации и проведению урока систематизации и обобщения по теме «Прогрессии»2.1. Анализ темы: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».Анализ методической литературы выявил следующие особенности изучения темы «Прогрессии». По данной теме было рассмотрено учебное пособие (Шипачев В. С. математический анализ: Учебное пособие для вузов - М. Высшая школа 2002г.), предназначенное для студентов ВУЗов и для учеников старших классов средней школы [19]. Данное пособие представляет собой - общение многолетнего опыта преподавания авторам математического анализа на математических факультетах. В предложенном учебном пособии автор старается изложить материал так, чтобы он был доступен ученику старших классов средней школы, желающему серьёзно изучить математику. В пособии автор рассматривает важнейшие понятия математического анализа, к таким понятиям относится и рассматриваемая нами тема «прогрессии». Так же автор отмечает, что изучение раздела «прогрессии» в школьной программе необходим и важен, так как он может пригодится в дальнейшем при изучении математического анализа в Вузах. В данном пособии тема «прогрессии» рассматривается в § 7. Из всевозможных как отмечает автор, числовых последовательностей здесь рассматриваются лишь последовательности, так называемые арифметические и геометрические прогрессии. Даётся следующее определение арифметической прогрессии: последовательность (Хn), определяемая первым элементом Х1 и рекуррентным соотношением. , где d - постоянное, число, называется арифметической прогрессией, число d называется разностью арифметической прогрессии. Рекуррентное соотношение, определяющее арифметическую прогрессию в данном параграфе формулируется словами: всякий член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен предыдущему, сложному с постоянным числом d. Формула общего члена арифметической прогрессии доказывается методом математического индукции, вывод формулы суммы N число арифметической прогрессии основывается на предварительном доказательстве основного свойства членов конечной арифметической прогрессии Х1, Х2, Х3, … Хn: суммы членов прогрессии, равной стоящих от концов равны, т. е. Хm +Хn = Хr +Хе, если m+n=r+e Далее по такой же схеме рассматривается и геометрическая прогрессия. Например, П.М. Эрдниев отмечает наличие аналогии между определениями арифметической и геометрической прогрессии, формулами n - члена, свойствами, формулами сумм n-первых членов [20]. Аналогия результатов улавливается и в формулировке правил: Сумма n первых членов арифметической прогрессии равна сумме крайних членов, умноженной на «n - пополам»; Произведение n членов геометрической прогрессии равно произведению крайних членов, возведенному в степень «n - пополам» [20, с.33].
Основная цель: дать понятия об арифметической и геометрической прогрессиях как числовых последовательностях особого вида. Арифметическая и геометрическая прогрессии рассматриваются как частные виды последовательностей. В начале изучения темы разъясняется смысл понятий «последовательность», «n-ый» член последовательности», вырабатывается умение использовать индексные обозначения. Эти сведения используются при введении понятий арифметической и геометрической прогрессий, выводе формул n-ro члена и суммы n членов для каждой из прогрессий. При изучении темы можно ограничится только одной формулой для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии, а именно: Аналогично для геометрической прогрессии достаточно рассмотреть одну формулу суммы n первых членов: При выполнении упражнений основное внимание уделяется заданиям, связанным с непосредственным применением изучаемых формул, а также задачам практического содержания. Сведения о бесконечно убывающей геометрической прогрессии не являются обязательным для изучения.
Основная цель: познакомить учащихся с понятиями арифметической и геометрической прогрессии. Учащиеся знакомятся с числовыми последовательностями, учатся находить члены последовательности. Знакомство с арифметической и геометрической прогрессиями как числовыми последовательностями особых видов происходит на конкретных практических примерах. Формулы n-ro числа и суммы n первых членов обеих прогрессий выводятся учителем, однако требовать от всех учащихся умения выводить эти формулы необязательно. Упражнения не должны предполагать использовать в своём решении формул, не приведённых в учебнике.
Последовательности и способы их задания, рекуррентные последовательности, арифметическая и геометрическая прогрессии, формула n -го члена прогрессий, сумма первых n членов арифметической и геометрической прогрессий, сумма бесконечной геометрической прогрессии при 0 Основная цель: познакомить учащихся с понятием последовательности и способами её задания, научить решать основные задачи, связанные с прогрессиями.
Определение числовой последовательности и способы её задания: аналитический, словесный, рекуррентный. Монотонные последовательности. Арифметическая и геометрическая прогрессии: определения, формулы n-членов, характеристические свойства. Основная цель - познакомить учащихся с понятием числовой последовательности и с прогрессиями как с частными случаями числовых последовательностей. Эту тему следует построить так, чтобы она была органично связана с предыдущими разделами курса, не была «тупиковой». Поскольку в курсе приоритет отдаётся функциональной линии, то и последовательности подаются в том же ключе. Это функции, но несколько отличающиеся от того, к чему привыкли школьники,- функции натурального аргумента. Важно довести до сознания учеников, что три математические модели: 1) у = f(x), хN 2) у = f(n) 3) f(1), f(2), f(3), ... , f(n), ... или (= f(n)) - различные по форме, но одинаковы по содержанию. Вводятся три способа задания последовательности (аналитический, словесный и рекуррентный) и свойство монотонности применительно к последовательностям. При изучении арифметической и геометрической прогрессий специальное внимание уделяется их характеристическим свойствам.
Числовая последовательность [Свойства числовых последовательностей]. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия [Принцип полной индукции]. Основная цель - выработать умения, связанные с задачами «на арифметическую и геометрическую прогрессии». При изучении данной темы вводятся понятия числовой последовательности, вводятся понятия арифметической и геометрической прогрессии, решаются традиционные задачи, связанные с формулами n - первых членов арифметической и геометрической прогрессий, с вычислением суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Проводя сравнительный анализ данных учебников по изложению материала данной темы «Прогрессии» можно установить следующее: Муравин и Мордкович оба рассматривают числовую последовательность как функцию, только первый, рассматривая числовую последовательность, как функцию, определённую на множестве всех натуральных чисел, а второй рассматривая числовую последовательность, как частный случай числовой функции вида y=f(x), хN. Далее хотелось бы отметить, что оба автора, в отличие от Алимова, отдельными пунктами рассматривают рекуррентное задание последовательности. Хотя Мордкович, прежде чем учащихся подвести понятию рекуррентного задания последовательности сначала рассматривает дополнительно, аналитическое и словесное задание последовательности. Так как структура определений арифметической и геометрической прогрессии одна и та же так же похожи формулу n - ного члена и формулы сумм n-первых членов арифметической и геометрической прогрессии. Хочется подчеркнуть ещё одно обстоятельство того, что при изучении бесконечной геометрической прогрессии, только Алимов рассматривает бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, остальные же авторы ни разу не упоминая о существовании бесконечной геометрической прогрессии, причем Мордкович, вообще рассматривая только конечные геометрические прогрессии. |